\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction DS n�3}
\lfoot{}
\cfoot{DS n�3.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction DS n�3}
\end{center}

\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\U}{$\mathcal{U}$}
\newcommand{\V}{$\mathcal{V}$}
\def\e{\hbox{\rm e}}


\section*{Exercice I}

{\it On donne les approximations suivantes qui vous serviront au cours de l'exercice :}
$$
\ln(2) \approx 0,69 \qquad \ln(3) \approx 1,10 \qquad  22\ln(2)-14 \approx 1,25  \qquad  22\ln(3)-23 \approx 1,17
$$
$$
\dfrac{1}{22\ln(2) - 14} \approx 0,80 \qquad \dfrac{1}{22 \ln(3) - 23} \approx 0,86
$$

\subsection*{Pr�liminaire : Polyn�me et �tude de signe}
Soit $P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 
\begin{enumerate}
\item On effectue
\begin{equation*}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
  \begin{array}{rrrrr|cr}
 &X^3 & -6X^2 & + 11X  &-6 & X-1 &  \\
\cline{6-7}
-&(X^3&- X^2) &   & & X^2 - 5X +6 &\\
\cline{1-3}
    &   & -5X^2 & +11X  & -6 &  \\
    & - &(-5X^2 & +5X) &  & \\
    \cline{3-4}
    &     & & 6X &  -6 &  \\
    &     &-&(6X& -6)  & \\
              \cline{4-5}
    &     &   & & 0  & \\
  \end{array}
\end{equation*} 
\item D'apr�s la question pr�c�dente, $P(X) = (X-1)(X^2 - 5X + 6)$. On �tudie alors le polyn�me $X^2 - 5X + 6$. Son discriminant est $\Delta = 25 - 24 = 1$. On a alors deux racines
$$
X = \dfrac{5-1}{2} = 2 \quad {\rm et} \quad X = \dfrac{5+1}{2} = 3
$$
Le polyn�me P se factorise alors 
\begin{center}
\fbox{$P(X) = (X-1)(X-2)(X-3)$.}
\end{center}
\item Premi�rement, on a 
\begin{align*}
\dfrac{2 P(e^x)}{e^x} & = \dfrac{2(e^{3x} - 6e^{2x} + 11 e^x - 6)}{e^x} \\
\Longleftrightarrow \dfrac{2 P(e^x)}{e^x}  & = 2 \dfrac{e^{3x}}{e^x} - 12 \dfrac{e^{2x}}{e^x} + 22 \dfrac{e^x}{e^x} -  \dfrac{12}{e^x} \\
\Longleftrightarrow \dfrac{2 P(e^x)}{e^x} & = 2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}
\end{align*} 
Deuxi�mement, en utilisant la forme factoris�e du polyn�me $P$, on a 
$$
\dfrac{2P(e^x)}{e^x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}.
$$
On a donc l'�galit�:
\begin{center}
\fbox{$
2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x} = \dfrac{2(e^x - 1)(e^x - 2)(e^x - 3)}{e^x}
$}
\end{center}
\item On a $\forall x \in \R, e^x >0$, on �tudie donc les 3 autres expressions. 

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 1 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 1 \\
\Longleftrightarrow & x > 0 \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 2 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 2 \\
\Longleftrightarrow & x > \ln(2) \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
& e^{x} - 3 > 0 \\ 
\Longleftrightarrow & e^x > 3 \\
\Longleftrightarrow & x > \ln(3) \\
\end{align*}
\end{minipage}

On dresse le tableau de signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $e^x - 1$/1, Signe de $e^x - 2$/1, Signe de $e^x - 3$/1, Signe de $2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+ }
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+ }
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+ }
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
%\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/1, +/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{\'Etude d'une fonction}
On pose $v :x \to e^{2x} - 12 e^x +22x + 12 e^{-x}$ et $h : x \to \dfrac{1}{v(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item \'Etude de $v$. 
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
v(\ln(2)) & = e^{2\ln(2)} - 12 e^{\ln(2)} +22\ln(2) + 12 e^{-\ln(2)} \\
& = 2^2 - 24 + 22 \ln(2) + 6 \\
& = 22 \ln(2) - 14 
\end{align*} 
\begin{align*}
v(\ln(3)) & = e^{2\ln(3)} - 12 e^{\ln(3)} +22\ln(3) + 12 e^{-\ln(3)} \\
& =  3^2 - 36 + 22 \ln(3) + 4 \\
& = 22 \ln(3) - 23 
\end{align*} 
\begin{center}
\fbox{On a donc $v(\ln(2) = 22 \ln(2) - 14 $ et $v(\ln(3)) = 22 \ln(3) - 23 $. }
\end{center}
\item On a 
\begin{align*}
v(x) & = e^{2x} \left( 1 - 12 \dfrac{e^x}{e^{2x}} + 22 \dfrac{x}{e^{2x}} + 12 \dfrac{e^{-x}}{e^{2x}} \right)\\
& = e^{2x} \left( 1 - 12 e^{-x} + 22 \dfrac{x}{e^{2x}} + 12 e^{-3x} \right)
\end{align*}
Or $\li_{x \to + \infty} e^{-x} = \li_{x \to + \infty} e^{-3x} = 0$ et $\li_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{2x}} = 0$ par croissance compar�es. Enfin, \\
$\li_{x \to + \infty} e^{2x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to +\infty} v(x) = + \infty $}
\end{center}
On a �galement 
\begin{align*}
v(x) & = e^{-x} \left(\dfrac{e^{2x}}{e^{-x}} - 12 \dfrac{e^x}{e^{-x}} + 22 \dfrac{x}{e^{-x}} + 12 \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}} \right)\\
& = e^{-x} \left( e^x - 12 e^{2x} + 22 xe^x + 12 \right)
\end{align*}
Or $\li_{x \to - \infty} e^{x} = \li_{x \to  \infty} e^{2x} = 0$ et $\li_{x \to - \infty} xe^x = 0$ par croissance compar�es. Enfin, \\
$\li_{x \to - \infty} e^{-x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to -\infty} v(x) = + \infty $}
\end{center}
\item La fonction $v$ est d�rivable sur $\R$ en tant que somme et compos�e de fonctions d�rivables sur $\R$ et 
$$
\forall x \in \R, \quad v'(x) = 2e^{2x} - 12 e^x +22 - 12 e^{-x}
$$
En utilisant les questions pr�c�dentes et $v(0) = 1$, on trace le tableau de variation 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $v'(x)$/1, Variations de $v$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/1,+/$\approx 1.25$,-/$\approx 1.17$,+/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\item D'apr�s le tableau de variation pr�c�dent, \begin{center}
\fbox{ $\forall x \in \R$, $v(x) > 0$.  }
\end{center}
\end{enumerate}
\item Comme pour tout r�el $x$, $v(x) >0$,
\begin{center}
 \fbox{Le domaine de d�finition de $h$ est $\R$.}
 \end{center} 
\item La fonction $h$ est d�rivable sur $\R$ en tant que quotient de la fonction $v$ (qui ne s'annule pas). On a alors
$$
\forall x \in \R, \quad h'(x) = - \dfrac{v'(x)}{v^2(x)}
$$
Comme $v^2(x)$ est strictement positif, la d�riv�e de $h$ est du signe contraire de la d�riv�e de $v$. 
Enfin, on a 
$$
\li_{x \to +\infty} h(x) = \li_{x \to + \infty} \dfrac{1}{v(x)} = 0 , \qquad {\rm et} \qquad \li_{x \to -\infty} h(x) = \li_{x \to - \infty} \dfrac{1}{v(x)} = 0 
$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $v'(x)$/1,Signe de $h'(x)$/1, Variations de $h$/2}{$- \infty$,0,$\ln(2)$,$\ln(3)$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+ }
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,- }
\tkzTabVar{-/$0$,+/1,-/$\approx 0.80$,+/$\approx 0.86$,-/$0$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - ESCP 2016 - ECT (modifi�)}

Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Script Scilab
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
u = 1
for k = 1:n
    u = log(1 + u^2)
end
disp(u)
\end{verbatim}

\item
On montre les propri�t�s suivantes $\P_n : \left\{ 0 \leq u_n \leq 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 1$ donc la propri�t� $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{H�r�dit� :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 \leq u_n \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_n^2 \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 1 \leq 1+u_n^2 \leq 2 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \ln(1+u_n^2) \leq \ln(2) \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_{n+1} \leq 1 \\
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en d�duit que la suite des proposition $(\P_n)$ est h�r�ditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq 1$. }\\
	\end{itemize}	

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est d�rivable sur $[0,1]$ en tant que compos�e et somme de fonction d�rivable sur $[0,1]$ et 
$$
\forall x \in [0,1], \quad f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} - 1 = \dfrac{-x^2 + 2x - 1}{1+x^2} = \dfrac{-(1-x)^2}{1+x^2} \leq 0
$$
La fonction $f$ est d�croissante. $f(0) = 0$ et $f(1) = \ln(2) - 1$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{0,1}
\tkzTabLine{,-, }
\tkzTabVar{+/$0$,-/$\ln(2)-1$,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
On en d�duit que 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in [0,1], \quad f(x) \leq 0
$}
\end{center}
\item On a montr� que $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. On a donc
$$
f(u_n) \leq 0 \Longleftrightarrow u_{n+1} - u_n \leq 0
$$

\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)$ est donc d�croissante. }
\end{center}

\item La suite $(u_n)$ est d�croissante et minor�e par $0$. \begin{center}
\fbox{Elle est donc convergente.}
\end{center}
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item On pose la fonction $g : x \to \ln(1+x) - x$. Cette fonction est d�rivable sur $\R_+$ et 
$$
\forall x \in \R_+, g'(x) = \dfrac{1}{1+x} - 1 = \dfrac{-x}{1+x} \leq 0
$$
La fonction $g$ est donc d�croissante et $g(0) = 0$. Donc $\forall x \in \R_+, g(x) \leq 0$, c'est � dire 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \geq 0, \quad \ln(1+x)\leq x
$}
\end{center}

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_n^2 >0$ et donc, d'apr�s la question pr�c�dente
\begin{center}
 \fbox{$ u_{n+1} = \ln(1+u_n^2) \leq u_n^2$.}
 \end{center} 

\item On montre les propri�t�s suivantes $\P_n : \left\{  u_n \leq (\ln 2)^n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 \leq 1$ donc la propri�t� $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{H�r�dit� :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& u_{n+1} \leq  u_n^2 \\
\Longrightarrow \quad &u_{n+1} \leq  (\ln 2)^n \times (\ln 2)^n \\
\Longrightarrow \quad & u_{n+1} \leq (\ln 2)^{n+1} 
\end{align*}
On a utilis� le fait que $ (\ln 2)^n \leq \ln(2)$ pour $n \geq 1$. La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en d�duit que la suite des proposition $(\P_n)$ est h�r�ditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ u_n \leq (\ln 2)^n$. }\\
	\end{itemize}	

\item  On a pour $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq (\ln 2)^n$. Comme $\ln 2 < 1$, $\li_{n \to + \infty} (\ln 2)^n = 0$. Donc d'apr�s le th�or�me des gendarmes, 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{ n \to + \infty} u_n = 0
$}
\end{center}

\item Programme Scilab
\begin{center}
\fbox{$6$ est le plus petit entier $n$ tel que $|u_n| < 10^{-4}$.  }
\end{center}

\item Soit $n \geq 2$, pour tout $k \in \entier{0,n-1}$, 
\begin{align*}
& u_k \leq (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \sum_{k=0}^{n-1} (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \dfrac{1 - (\ln 2)^n}{1 - \ln 2} 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate} 



\section*{Exercice III - ESCP ECT 2010 modifi�.}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\renewcommand{\P}{\mathrm{P}}

\textit{La probabilit� d'un �v�nement est not�e $\P(A)$, et pour tout �v�nement $B$ v�rifiant $\P(B)\ne 0$, on note $\P_{B}(A)$ la probabilit� conditionnelle de $A$ sachant $B$}.\par
%
\smallskip
%
Un mobile se d�place al�atoirement le long d'un axe horizontal d'origine $O$, sur des points � coordonn�es enti�res, positives ou nulles.\\
Les d�placements sont effectu�s selon le protocole suivant :\\
$\bullet$ � l'instant z�ro, le mobile est sur l'origine $O$ d'abscisse $0$;\\
$\bullet$ si, pour tout entier naturel $n$, le mobile  se trouve � l'instant $n$ sur le point d'abscisse $k$ ($0\le k\le n$), alors il sera � l'instant $n+1$, soit sur le point d'abscisse $k+1$ avec la probabilit� $\dfrac{1}{3}$, soit sur le point d'abscisse $k$ avec la probabilit� $\dfrac{2}{3}$. Pour tout entier naturel $n$, soit $X_{n}$ la variable al�atoire �gale � l'abscisse du mobile � l'instant $n$. Ainsi $X_{0}=0$. On note $\E(X_{n})$ l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire $X_{n}$.
\begin{enumerate}
 \item Au temps $n�1$, le mobile peut �tre en $1$ ou en $0$. Ainsi $X_1(\Omega) = \{ 0, 1 \}$. \begin{center}
 \fbox{$X_1$ suit donc une loi de Bernoulli de param�tre $P(X_1 = 1) = \dfrac{1}{3}$.}
 \end{center}  
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Le mobile reste sur place ou progresse d'une place. A l'instant $1$, le mobile peut donc �tre en 0 et en 1. A l'instant 2, il peut donc �tre en 0, 1 ou 2. 
 \begin{center}
  \fbox{ $ X_2(\Omega) = \{ 0,1,2 \}$.}
  \end{center} 
  \item $X_1(\Omega) = \{ 0, 1 \}$ donc l'ensemble $\{[X_{1}=1],[X_{1}=0]\}$ est le syst�me complet d'�v�nements associ� � la variable al�atoire. D'apr�s la formule des probabilit�s totales
  \begin{align*}
  P(X_2 = 0) &= P(X_1 = 0) P_{X_1 = 0} (X_2 = 0) + P(X_1 = 1) P_{X_1 = 1} (X_2 = 0) \\
  & = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0 \\
  & = \dfrac{4}{9}
  \end{align*}
   \begin{align*}
  P(X_2 = 1) &= P(X_1 = 0) P_{X_1 = 0} (X_2 = 1) + P(X_1 = 1) P_{X_1 = 1} (X_2 = 1) \\
  & = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \\
  & = \dfrac{4}{9}
  \end{align*}
  \begin{align*}
  P(X_2 = 2) &= P(X_1 = 0) P_{X_1 = 0} (X_2 = 2) + P(X_1 = 1) P_{X_1 = 1} (X_2 = 2) \\
  & = \dfrac{2}{3} \times 0 + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \\
  & = \dfrac{1}{9}
  \end{align*}
    \begin{center}
    \fbox{$\P([X_{2}=0])=\dfrac{4}{9},\qquad\P([X_{2}=1])=\dfrac{4}{9}\quad$ et $\quad\P([X_{2}=2])=\dfrac{1}{9}$}
    \end{center}

  \item On a par d�finition 
  \begin{align*}
  E(X_2) & = 0 \times P(X_2 = 0) + 1 \times P(X_2 = 1) + 2 \times P(X_2 = 2) \\
  & = 0 + \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} 
  \end{align*}
  \begin{center}
  \fbox{On obtient $E(X_2) = \dfrac{2}{3}$.}
  \end{center}
  \item On calcule d'abord 
  \begin{align*}
  E(X_2^2) & = 0 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) + 2^2 \times P(X_2 = 2) \\
  & = 0 + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} \\
  & = \dfrac{8}{9}  
  \end{align*}
  Et donc, d'apr�s la formule de K\"oenig-Huygens 
  \begin{center}
  \fbox{$
  V(X_2) = E(X_2^2) - (E(X_2))^2 = \dfrac{8}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9}
  $}
  \end{center}
 \end{enumerate}
 \item A l'instant $n$, le mobile peut �tre dans toutes les positions entre 0 et $n$. Donc
\begin{center}
\fbox{ $X_n(\Omega) = \entier{0,n}$.}
\end{center}
 \item Pour tout entier $n$ sup�rieur ou �gal � $1$ et tout $k$ de $\entier{1,n}$, 
 \begin{enumerate}
  \item {\it Attention, il y avait une erreur d'�nonc�. 0,5 pts bonus pour ceux qui sont parvenus � la corriger}. Pour que le mobile soit en $k$ � l'instant $n$, il faut qu'il soit � l'instant $n-1$ en $k-1$ (le mobile avancera alors d'un au temps $n$) ou en $k$ (le mobile devra rester sur place. Autrement dit : 
  \begin{center}
  \fbox{$[X_{n}=k]= \left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k-1] \right) \cup \left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k] \right) $.}
  \end{center}
  \item Les deux �v�nements $\left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k-1] \right)$ et $\left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k] \right) $ sont disjoints, donc : 
\begin{align*}
\P([X_{n}=k]) & = \P \left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k-1] \right) + \P\left([X_{n}=k]\cap[X_{n-1}=k] \right) \\
& = \P_{X_{n-1} = k-1} (X_n = k) \P([X_{n-1}=k-1]) + \P_{X_{n-1} = k} (X_n = k) \P([X_{n-1}=k]) \\
& = \dfrac{1}{3}\P([X_{n-1}=k-1]) + \dfrac{2}{3}\P([X_{n-1}=k]) 
\end{align*}  

  \item Le mobile ne peut pas se trouver en $-1$ donc $P(X_{n-1} = -1) = 0$. On a donc pour tout $n \in \N^*$,
   \begin{center}
   \fbox{$\P([X_{n}=0])=\dfrac{2}{3}\P(X_{n-1} = 0)$.}
   \end{center}
  \item On note $a_n = P(X_n =0)$. La suite $(a_n)$ est une suite g�om�trique de raison $\dfrac{2}{3}$ et $a_0 = \P(X_0 = 0) = 1$. On a donc
  \begin{center}
  \fbox{$ a_n= P(X_n = 0) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$.}
  \end{center}
 \end{enumerate} 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item De la m�me fa�on, le mobile ne peut pas �tre en $n$ � l'instant $n-1$ donc $\P(X_{n-1} = n) = 0$ et d'apr�s la question 4.c
   \begin{center}
    \fbox{$\P([X_{n}=n])=\left(\dfrac{1}{3}\right)\P([X_{n-1}=n-1])$}
   \end{center}
  \item Si l'on note pour tout entier naturel $n$, $b_n = \P([X_{n}=n])$, on voit que la suite $(b_n)_{n \in \N}$ est une suite g�om�trique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0 = \P(X_0 = 0) = 1$ donc
  \begin{center}
  \fbox{$ b_n= P(X_n = n) = \left( \dfrac{1}{3} \right)^n$.}
  \end{center}
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la d�finition de $\E(X_{n})$ et la question 4.(c),on a pour tout entier $n$ sup�rieur ou �gal � $1$,
   \begin{align*}
    \E(X_{n}) & = \sum_{k = 0}^n k \P(X_n = k) \\
    & = \sum_{k = 1}^n k \P(X_n = k) \\
    & = \sum_{k = 1}^n k \left( \dfrac{1}{3}\P([X_{n-1}=k-1]) + \dfrac{2}{3}\P([X_{n-1}=k]) \right) \\
	& = \dfrac{1}{3}\ds \sum_{k=1}^{n}k\P([X_{n-1}=k-1]) + \dfrac{2}{3} \ds \sum_{k=1}^{n-1}k\P([X_{n-1}=k])
   \end{align*}
  \item On remarque tout d'abord que 
$$
E(X_{n-1}) =  \sum_{k = 0}^{n-1} k \P(X_{n-1} = k) = \sum_{k = 1}^{n-1} k \P(X_{n-1} = k)
$$  
  A l'aide d'un changement de variable, on a 
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k\P([X_{n-1}=k-1]) & = \sum_{k = 0}^{n-1} (k+1) \P(X_{n-1} = k-1) \\
& =  \sum_{k = 0}^{n-1} k \P(X_{n-1} = k-1) +  \sum_{k = 0}^{n-1} \P(X_{n-1} = k-1) \\
& = E(X_{n-1}) + 1
\end{align*}  
On a donc 
\begin{align*}
E(X_n) = \dfrac{1}{3} \left(E(X_{n-1}) + 1 \right) + \dfrac{2}{3} \left(E(X_{n-1}) \right)
\end{align*}
  On en d�duit que: 
  \begin{center}
  \fbox{$\E(X_{n})=\E(X_{n-1})+\dfrac{1}{3}$.}
  \end{center}
  \item La suite $(\E(X_{n}))$ est une suite arithm�tique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $E(X_0) = 0$. On a donc
  \begin{center}
  \fbox{$E(X_n) = \dfrac{n}{3}$.}
  \end{center}
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice IV -Inspir� d'INSEEC 2002}

{\it Il y avait une erreur d'�nonc� d�stabilisatrice pour la suite. Cet exercice sera donc compt� comme une question bonus}. 

On d�finit pour tout entier naturel $n$ non nul, le polyn�me $P_n$ par :
$P_0(X) = 2$ et $\forall n  \in \N$,
\begin{equation}
P_{n+1}(X) = X^3 P_n'(X) + (2 - 3{\color{red} (n+1)} X^2) P_n (X)
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item \'Etude des polynomes
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
P_{n+1}(0) & = 0 + (2 -0) P_n(0) = 2 P_n(0)
\end{align*}
La suite $(P_n(0))_{n \in \N}$ est une suite g�om�trique de raison $2$ et de premier terme $2$. On a alors
\begin{center}
\fbox{ $\forall n \in \N$, $P_n(0) = 2 \times 2^n = 2^{n+1} $}
\end{center}
\item On a $P_0'(X) = 0$ et donc 
\begin{align*}
P_1(X) & = X^3 \times P_0'(X) + (2-3X^2) P_0(X) \\
& = 2 \times (2 - 3X^2)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{$P_1(X) = 4 - 6X^2$.}
\end{center}
En utilisant la m�thode du discriminant, ou par calcul direct, on obtient,
\begin{center}
\fbox{Les racines de $P_1$ sont $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$  et $- \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. }
\end{center}
\item On a $P_1'(X)  = -12 X$ et donc 
\begin{align*}
P_2(X)& = X^3 P_1'(X) + (2 - 6X^2)P_1(X) \\
& = -12 X^4 + (2 - 6X^2)(4-6X^2) \\
& = -12X^4 + 8 -12X^2 -24X^2 +36X^4 \\
& = 24 X^4 -36X^2 +8
\end{align*}

Afin de d�terminer ses racines, on va poser $Y = X^2$, On a
$$
24X^4 - 36 X^2 + 8 = 4(6Y^2 -9Y + 2) 
$$ 
On �tudie les racines de $6Y^2 - 9Y +2$. Le discriminant est $\Delta = 81 - 48 = 33$ et donc les racines sont 
$$
Y_1 = \dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}, \qquad Y_2 = \dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}
$$
Comme $9 - \sqrt{33} > 0$, on a quatre racines pour $P_2$, 
\begin{center}
\fbox{$\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}, \quad -\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}, \quad \sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$ et $-\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$}
\end{center} 
\item On montre les propri�t�s suivantes $\mathscr{P}_n : \left\{  \P_n \; \text{est de degr�} \; 2n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $P_0$ est de degr� $0$ donc la propri�t� $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{H�r�dit� :} On suppose que $\mathscr{P}_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $\P_n$ un polyn�me de degr� $2n$.
	\begin{itemize}
	\item $P_n'$ est de degr� $2n-1$ et donc $X^3 P_n'$ est de degr� $2n+2$.
	\item $P_n$ est de degr� $2n$ et $(2-3(n+1)X^2)$ est de degr� $2$ donc $(2-3(n+1)X^2)P_n(X)$ est de degr� $2n+2$
	\end{itemize}
	$P_{n+1}$ �tant la somme de deux polyn�me de degr� $2n+2$, c'est un polyn�me de degr� au moins $2n+2$. On s'int�resse � son coefficient dominant. Si on note $a_n$ le coefficient dominant du polyn�me $\P_n$ alors 
	$$a_{n+1} = 2n a_n - 3(n+1) a_n = -(n+3)a_n \neq 0$$

	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, Le polyn�me $\P_n$ est de degr� $2n$. }\\
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R^*$ par $f(x) = \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est d�rivable sur $\R^*$ en tant que produit et compos�e de fonctions d�rivables
\begin{align*}
\forall x \in \R^*, \quad f'(x) &=  \dfrac{-6}{x^4} e^{-1/x^2} + \dfrac{2}{x^3} \times \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}. \\
& = \dfrac{-6x^2 + 4}{x^6}e^{-1/x^2}
\end{align*}
De m�me, $f'$ est d�rivable en tant que produit, compos�e et quotient de fonctions d�rivables sur $\R^*$. 
\begin{align*}
\forall x \in \R^*, \quad f''(x) &=  \dfrac{-12x \times x^6 -6x^5(-6x^2 + 4)}{x^{12}} e^{-1/x^2} + \dfrac{-6x^2 + 4}{x^6} \times \dfrac{2}{x^3} e^{-1/x^2}. \\
&=  \dfrac{-12 x^4 -6x^2(-6x^2 + 4)}{x^{9}} e^{-1/x^2} + \dfrac{-12x^2 + 8}{x^9} e^{-1/x^2}. \\
&=  \dfrac{-12 x^4 +36x^4 - 24x^2 -12x^2 + 8)}{x^{9}} e^{-1/x^2}  \\
& = \dfrac{24x^4 -36x^2 + 8}{x^9}e^{-1/x^2}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a finalement $
f'(x) = \dfrac{P_1(x)}{x^6} e^{-1/x^2} \quad {\rm et} \quad f''(x) = \dfrac{P_2(x)}{x^9} e^{-1/x^2}
$}
\end{center}
\item On calcule les limites,
$$\li_{x \to \pm \infty} \dfrac{2}{x^3} = 0 \quad \text{et} \quad \li_{x \to \pm \infty} e^{-1/x^2} = 0 \quad \text{donc} \quad \li_{x \to \pm \infty} f(x) = 0
$$
$$
\li_{x \to 0} f(x) = \li_{y \to + \infty} 2 y^{3/2}e^{-y} = 0 \quad \text{(par croissance compar�e)} 
$$
D'apr�s les questions pr�c�dentes, on d�duit
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,espcl=3]{$x$/1.5, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,$- \sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$0$,$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,+,z,- }
\tkzTabVar{+/$0$,-/$-2\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{3} e^{-3/2}$,+D-/0 /0,+/$2\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{3} e^{-3/2}$,-/0}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}  
\item On d�termine la convexit� en regardant le signe de $f''$. D'apr�s la question 1.c
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=2]{$x$/1.5, Signe de $f''(x)$/1}{$- \infty$,$-\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}$,$-\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} $, $0$,$\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}}$,$\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d,+,z,-,z,+, }
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
La fonction est donc convexe sur $\left]- \infty, -\sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}} \right[$, sur $\left] -\sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} , 0\right[$, sur $\left]0, \sqrt{\dfrac{9 - \sqrt{33}}{12}} \right[$ et sur $\left] \sqrt{\dfrac{9 + \sqrt{33}}{12}} , +\infty \right[$. Elle est concave sur les autres intervalles.

\item On conjecture 
\begin{center}
 \fbox{ $\forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2}$.}
 \end{center} 
\item On montre les propri�t�s suivantes $\mathscr{P}_n : \left\{ \forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $f^{(0)} = f$ et $\forall x \in \R^*, f(x) = \dfrac{P_0(x)}{x^{3(0+1)}} e^{-1/x^2}$  donc la propri�t� $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{H�r�dit� :} On suppose que $\mathscr{P}_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc la formule pour la d�riv�e $n$�me de $f$. $f^{(n)}$ est alors d�rivable en tant que compos�e, produit et quotient de fonctions d�rivables et 
	\begin{align*}
	\forall x \in \R^*, f^{(n+1)} (x) & = \dfrac{P_n'(x) x^{3(n+1)} - 3(n+1)x^{3n+2} P_n(x)}{x^{6n + 6}} e^{-1/x^2} + \dfrac{P_n(x)}{x^{3n+3}} \times \dfrac{2}{x^3}e^{-1/x^2} \\
	&\text{\it On simplifie le premier quotient par $x^{3n}$} \\
	& = \dfrac{P_n'(x) x^3 - 3(n+1)x^2 P_n(x) + 2P_n(x)}{x^{3n+6}} e^{-1/x^2}\\
	& = \dfrac{P_{n+1}(x)}{x^{3(n+2)}}e^{-1/x^2}
	\end{align*}
	La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en d�duit que la suite des proposition $(\P_n)$ est h�r�ditaire. 

	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$,  $\forall x \in \R^*, \;f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)}{x^{3(n+1)}}e^{-1/x^2}$. }\\
	\end{itemize} 
\end{enumerate}
\item En scilab, un polyn�me peut �tre mod�lis� par une matrice ligne ne comportant que les coefficients du polyn�me. Ainsi la matrice $[2,3,5]$ correspondra au polyn�me $P(X) = 2 + 3X + 5 X^2$.
\begin{enumerate}
\item La matrice $[1,0,2,4]$ correspond au polyn�me \fbox{$1 + 2X^2 + 4X^3$}
\item La matrice correspondant � \fbox{$P_1(X)$ est $[4,0,-6]$}. \\
La matrice correspondant � \fbox{$P_2(X)$ est $[8,0,-36,0,24]$}. 
\item La matrice sera de \fbox{taille $n+1$}
\item Compl�ter la fonction suivante qui pour un polyn�me quelconque, permet d'obtenir le polyn�me d�riv�e :
\begin{verbatim}
function Q = derive(P)
    n = size(P) \\permet d'obtenir la taille de la matrice P
    if n == 1
        Q = [.0.]
    else 
        Q = zeros(1,.n-1.)
        for k = 1 : .n-1.
            Q(k) = .k*P(k+1).
        end
    end
endfunction
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}